Todo lo que puede ocurrir factualmente ocurre contrafactualmente


La física tiene esta característica entre muchas otras: Incluso la persona menos informada puede plantear una pregunta que ni el más experto podría responder. Plantear preguntas que no pueden responderse, por tanto, tiene escaso mérito en sí mismo. De lo que se trata es de plantear preguntas que vayan al grano de la cuestión, cualquiera que sea esta. Eso es lo que intento aquí. Creo que mis preguntas tienen sentido y que si el problema de la indefinición cuántica hubiera sido en verdad resuelto, los físicos que así lo reivindican no tendrían ningún problema en contestarlas. Estas preguntas, pienso yo, deberían hacérselas seriamente, todos los que se acogen a la interpretación de la einselection de Wojciech H. Zurek. Según esta interpretación, basta con demostrar que la interacción con el ambiente selecciona una base de observables en contextos típicamente termodinámicos, dando lugar a la definición del mundo de observables clásicos. Después se construyen unos operadores de probabilidad clásica y con un grado suficientemente preciso el estado físico se convierte en autoestado de estos operadores de probabilidad en un tiempo minúsculo, con lo que la probabilidad clásica se obtiene como un concepto emergente de la teoría. Que la selección de una base no implica la selección de una alternativa es la clave de mis cuestiones, pero seré más explícito.

1) Si siempre que una variable está en régimen clásico es porque está enredada con el ambiente a través de muchos grados de libertad en las variables ambientales en la forma:

Estados puros:
 \left|\psi\right\rangle =\left(\alpha\left|a\right\rangle +\beta\left|b\right\rangle \right)\left|\psi\right\rangle _{B}\mapsto\alpha\left|a\right\rangle \left|a\right\rangle _{B}+\beta\left|b\right\rangle \left|b\right\rangle _{B}

Estados mezcla:
 \rho=\left(\alpha\left|a\right\rangle \left|a\right\rangle _{B}+\beta\left|b\right\rangle \left|b\right\rangle _{B}\right)\left(\alpha^{*}\left\langle a\right|\left\langle a\right|_{B}+\beta^{*}\left\langle b\right|\left\langle b\right|_{B}\right)\overset{\textrm{Tr}_{B}}{\mapsto}\left|\alpha\right|^{2}\left|a\right\rangle \left\langle a\right|+\left|\beta\right|^{2}\left|b\right\rangle \left\langle b\right|

¿qué distingue en este contexto “ Q  se ha medido con resultado a de “ Q  se ha medido con resultado  b ”?

2) ¿Cómo describe el enredamiento de vectores o matrices densidad una medición contrafactual, como en el test de Elitzur-Vaidman o el experimento de resultado negativo de Renninger? En otras palabras: ¿cómo distingue uno entre decoherencia con medición factual y decoherencia con medición contrafactual? Y todavía en otras palabras: ¿por qué experimentos en los que no se ha medido rompen la coherencia cuando el dispositivo de medición se interpone en la alternativa en la que no se verifica una medición? ¿Qué significan ese no se ha medido y ese no se verifica? ¿O acaso hay cosas que se verifican o no sin que la teoría, no solo explique, sino ni siquiera dé una imagen matemática de ello?

3) ¿Cómo explica el mero enredamiento de vectores o matrices el hecho de que las mediciones persisten en el resultado; p.ej., siempre que una superposición de dos estados con diferentes momentos lineales a partir de una deflexión previa produce un resultado de localización, mediciones consecutivas de la posición confirman ese resultado aun cuando la amplitud no es nula para el otro resultado?

4) Existe un análisis clásico debido a Nevill F. Mott con el fin de reconciliar la simetría esférica de las ondas s  correspondientes a una partícula alfa emitida por un núcleo inestable con las trayectorias rectilíneas que exhibe. Básicamente lo que hace Mott es resolver el problema en términos de probabilidades condicionadas: Si la partícula pasa por A y B, la probabilidad de que pase por puntos que no están en la línea recta entre A y B es cero. La solución a este problema puede encontrarse en Wheeler & Zurek, Quantum Theory and Measurement; Princeton. Consideremos el problema de Mott. Sea  \left|\Omega\right\rangle un estado puro de sistema + ambiente consistente con la condición “la trayectoria es una línea recta”―lo que quiera que eso signifique en términos del teorema espectral de espacios de Hilbert―. Sea ahora  \left|\Omega_0\right\rangle cualquier estado puro consistente con la condición “no se ha registrado una línea recta todavía” ―en la teoría cuántica de la medición este último suele llamarse estado neutral―. ¿Incluye eso la posibilidad de que se haya registrado una línea pero no resulte ser una recta? No importa. No depende de eso. Expándase el espacio de Hilbert hasta que las alternativas sean exhaustivas y mutuamente exclusivas. La completitud y el cierre en el espacio de Hilbert garantizan la existencia de tales proyectores. Si la base postulacional de la mecánica cuántica es correcta,  \left|\Omega\right\rangle y  \left|\Omega_0\right\rangle deberían ser ortogonales:  \left\langle \Omega\left|\Omega_{0}\right\rangle \right.=0.

Si la evolución exponencial es válida y el análisis de Von Neumann de la medición también lo es, de forma que  \left[H,Q\right]=0, entonces existe una descomposición espectral del Hamiltoniano efectivo  H en términos de proyectores  Q-conmutantes ( Q= ”hay una línea lo que sea”),

 \sum_{\beta}P_{Q=\textrm{yes}}\left(\beta\right)+\sum_{\beta}P_{Q=\textrm{no}}\left(\beta\right)=I\\ \\ H\left(t\right)=\sum_{\beta}\alpha_{\textrm{yes}}\left(\beta,t\right)P_{Q=\textrm{yes}}\left(\beta\right)+\sum_{\beta}\alpha_{\textrm{no}}\left(\beta,t\right)P_{Q=\textrm{no}}\left(\beta\right)

(donde \beta  es un posible―de hecho, necesario―índice de degeneración) y resulta:

\textrm{T}\exp-i\int dt\left[\sum_{\beta}\alpha_{\textrm{no}}\left(\beta,t\right)P_{Q=\textrm{yes}}\left(\beta\right)+\sum_{\beta}\alpha_{\textrm{no}}\left(\beta,t\right)P_{Q=\textrm{no}}\left(\beta\right)\right]=\\ \\=\sum_{\beta}e^{-i\int dt\alpha_{\textrm{no}}\left(\beta,t\right)}P_{Q=\textrm{yes}}\left(\beta\right)+\sum_{\beta}e^{-i\int dt\alpha_{\textrm{no}}\left(\beta,t\right)}P_{Q=\textrm{no}}\left(\beta\right)

(Los términos de la expansión conmutan todos. Necesitamos la fórmula de evolución de Dyson porque, aunque el sistema global puede considerarse cerrado, la expansión en proyectores macroscópicamente discernibles está a la fuerza compuesta de una multitud de grados de libertad microscópicos, con sus dependencias temporales correspondientes.)

Conclusión: Los sucesos “hay una línea recta” y “no hay una línea recta” persisten ambos, y muestran decoherencia mutua. (Otra cosa es cómo comprobar la decoherencia entre variables abstractas, ya que la decoherencia solo se puede verificar en términos de la posición, y hacer interferir macroestados genéricos carece de sentido operacionalmente.) Fin de la historia. Se puede, por supuesto, eludir la cuestión y de hecho se elude habitualmente apelando al carácter típicamente abierto de los sistemas macroscópicos y al elevado número de variables ambientales, pero como se ve la paradoja no tiene que ver con estos aspectos. Si uno omite los estados macroscópicamente discernibles, incluidos estados neutros como el anteriormente mencionado, por supuesto que no vemos el problema. Pero entonces surge la siguiente cuestión: ¿Por qué estos estados no aparecen, si según el formalismo cuántico todo lo que puede ocurrir, ocurre?

La física a base de eslóganes

Todo lo que puede ocurrir, ocurre, o todo lo que no está prohibido, es obligatorio, que decía Murray Gell-Mann. Este puede ser un buen eslógan, que muchos atribuyen incorrectamente a Feynman, y significa que toda alternativa no explícitamente prohibida por una simetría del sistema participa con su amplitud de probabilidad en la evolución. Pero ¿para qué sirve un eslógan, regla de pulgar, o incluso un principio si no tenemos una manera fundamental de distinguir lo que ocurre de lo que no ocurre?

El problema no es que la Naturaleza sea impredecible, el problema no es que lo cuántico es “extraño” y lo clásico es “familiar”, ni que un grupo de irreductibles intente explicar la mecánica cuántica en términos de mecánica clásica. El problema es que no hay forma alguna de etiquetar una ecuación del formalismo cuántico para decir qué entendemos por “esto, y no eso otro, ha sucedido”, y sin embargo, existen ejemplos en la experiencia física en la que esa distinción es crucial.

Quizá nadie llegue a comprender de forma completa e inobjetable la conexión entre el formalismo cuántico y el mundo clásico y objetivo. Quizá sea, como mucho, una suma de esfuerzos individuales la que dilucidará poco a poco la conexión, incluso trabajando en la dirección contraria. Por ejemplo, Paul Ehrenfest, intentando liberar a la física del indeterminismo estableció una conexión entre la mecánica clásica y la cuántica a través de su famoso teorema que relaciona las ecuaciones clásicas del movimiento con la evolución de los valores esperados (promedios mecanocuánticos). El teorema de Ehrenfest ayuda a entender mejor dicha conexión incluso aunque Ehrenfest fracasara en su intención original de hacer que el formalismo cuántico se someta a los conceptos clásicos.

¿Por qué es importante esta cuestión de distinguir entre medición o determinación factual y contrafactual? Pues porque en cosmología cuántica seguramente hay que precisar estas distinciones sutiles. ¿Está el inflatón en un estado factual o contrafactual cuando se produce el recalentamiento, o el slow roll, el big bang o la fase actual de expansión acelerada? Tanto si es así como si no, ¿influye en algo que consideremos unas variables de campo como realizadas factualmente y otras evolucionando de forma contrafactual, es decir, como amplitud sin verificación? El modelo estándar de la cosmología parece precisar de una variable que evoluciona factualmente (el inflatón) como un background clásico para el resto de los campos, en cuyo fondo desarrollan sus fluctuaciones a partir de una semilla de inhomogeneidad dada por las primeras desviaciones del equilibrio que sufre la materia oscura.

Todo esto parece sugerir que el campo escalar juega un papel fundamentalmente distinto del de las demás representaciones irreducibles del grupo de Poincaré; es decir, no como generador de multipletes y familias de partículas, sino como un elemento cuya función en el formalismo matemático es dotar de pointers o estados definidos en posición al conjunto de campos. El espacio natural para ubicar estos escalares es la fase cuántica, porque simplemente, no existe otro lugar donde ubicarlos sin violentar el formalismo de la teoría cuántica de campos de forma esencial.

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3 Responses to “Todo lo que puede ocurrir factualmente ocurre contrafactualmente”

  1. joigus Says:

    Comentario adicional: esta es mi primera prueba de LateX embebido en WordPress, sin plugin de MathML o similar. No estoy muy contento con el resultado, especialmente con las ecuaciones “inline”, pero qué le vamos a hacer. Si véis cualquier cosa rara en vuestros navegadores os agradecería que me lo dijeseis. Tengo entendido que los plugins del lado cliente dan problemas en navegadores como Opera. En fin, basta de comentarios informáticos, que ya os aburro bastante. 😉
    Saluditos.

  2. Carlos Says:

    Yo lo veo bien en el Chrome de mi Windows y en el Safari de mi ipad. Y por cierto, no estaría nada mal que el propio Zurek resolviera todas las dudas que planteas ,-)

  3. Completar la mecánica cuántica | Coleman's Missing Box Says:

    […] cuanto a las explicaciones basadas en la matriz densidad, ya dije que omiten la cuestión de los […]

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