El GHZ desenmascarado

En una de mis pataletas cuánticas anteriores (no sé cómo demonios traduciré esto al inglés para hacerlo más internacional) decía que:

GHZM reproduce correlaciones exactas para tres variables compatibles, y por tanto se queda dentro del contexto que Bell fue muy cuidadoso en discernir: posibilidad de que las correlaciones provengan del origen común de las partes del sistema compuesto.

Llevo tiempo pensando en esta cuestión en estos términos: ¿Qué tipo de observable es este GHZ? Si, como pienso, es trivial, ¿no será función de algún observable absolutamente obvio función de una de las integrales típicas clásicamente interpretables, como la energía, el momento angular, etc.? Si así fuera, como yo argumentaba entonces, toda la cuestión GHZ sería una monumental nube de humo que no revela nada que una argumentación puramente clásica no pueda explicar.

Al principio yo pensaba en algún tipo de paridad (aunque con la paridad hay que tener cuidado, ya que no es una cantidad conservada de forma universal, y precisamente las partículas de espín 1/2 vienen en en el ME en multipletes que violan máximamente la paridad). Como se sabe el observable GHZ (modificado por Mermin) es el producto de las componentes $x$ respectivas del espín de tres partículas de espín 1/2:

$\sigma_x\otimes\sigma_x\otimes\sigma_x$

Este observable es idénticamente -1 para el conjunto de las tres partículas. Recuérdese que el estado GHZ es:

$\left|\psi\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|\uparrow\uparrow\uparrow\right\rangle -\left|\downarrow\downarrow\downarrow\right\rangle \right)$

Parece sugerir una especie de paridad conjunta del agregado de tres partículas, ¿verdad? De alguna manera las partículas se comunicarían a distancia (ese es el callejón sin salida al que pretende llevarse el razonamiento en términos clásicos) el valor de la proyección $x$ de su espín para que esta “paridad” conjunta valiese -1 en todos los casos con dispersión cero.

¡Intuición incorrecta!: El observable GHZ es una función trivial del momento angular de espín total del sistema de tres partículas. Veámoslo. Pero para ello, primero anunciémoslo:

Lema:

$\sigma_{x}^{\left(1\right)}\sigma_{x}^{\left(2\right)}\sigma_{x}^{\left(3\right)}=\frac{1}{6}\left(\sigma_{x}^{\left(1\right)}+\sigma_{x}^{\left(2\right)}+\sigma_{x}^{\left(3\right)}\right)^{3}-\frac{7}{6}\left(\sigma_{x}^{\left(1\right)}+\sigma_{x}^{\left(2\right)}+\sigma_{x}^{\left(3\right)}\right)\label{eq:GHZMidentity}$

Donde se ha usado una notación resumida: $\sigma_{x}^{\left(1\right)}\overset{\textrm{def}}{=}\sigma_x\otimes I \otimes I$ , etc.

Refraseo del lema: El observable GHZ es un polinomio del momento angular de espín total: $\sigma_{x}^{\left(1\right)}\sigma_{x}^{\left(2\right)}\sigma_{x}^{\left(3\right)}=p\left(S_x\right)$ , con $p$ un vulgar polinomio cúbico.

Demostración:

Llamemos: $A\overset{\textrm{def}}{=}\sigma_x\otimes I\otimes I$ ; $B\overset{\textrm{def}}{=}I\otimes \sigma_x\otimes I$ ; $C\overset{\textrm{def}}{=}I\otimes I\otimes \sigma_x$ .

Desarrollemos $\left(A+B+C\right)^3$ usando el binomio de Newton (téngase presente que $A$ , $B$ y $C$ conmutan):

$\left(A+B+C\right)^3=A^3+B^3+C^3+3A^2B+3AB^2+3A^2C+$

$+3B^2C+3AC^2+3BC^2+6ABC$

Observando que $A^2=B^2=C^2=I$ :

$6ABC={S_x}^3-7S_x$

Que es exactamente lo que queríamos demostrar.

Moraleja (corolario, upshot): El GHZ parece estar midiendo algo misterioso, una especie de correlación invisible entre las partículas. ¡No tal!: Se trata de un observable no completamente obvio, pero tampoco extremadamente complejo que está dado por el espín total del sistema.

Observaciones

OBS_1: La demostración es extremadamente simple. Otra cuestión es darse cuenta de lo que esto implica. Estoy lo suficientemente maleado por la experiencia para darme cuenta de que si uno se aferra a que la mecánica cuántica debe formularse de una forma incomprensible, donde la indeterminación nos viene impuesta axiomáticamente, y no de forma razonada y demostrable, este argumento les va a resultar absolutamente opaco.

OBS_2 (Esta observación es puramente sociológica): Este argumento nunca sería aceptado en la comunidad científica. Una cosa es aceptar que una conjetura que uno ha hecho (como podría haber ocurrido con la inflación, el Higgs; o así ha sido con las dimensiones extra, etc.) no es confirmada por las observaciones (mala suerte, qué le vamos a hacer; seguiremos buscando); y otra muy distinta es dar un espectacular paso atrás: Un problema que yo afirmé resuelto, en realidad no lo estaba. Esto requiere un cambio de postura que a muchos se les haría imposible asumir con dignidad.

Yo sigo en lo mío: Intentar comprender la mecánica cuántica con argumentos lógicamente consistentes, tangibles, matemáticamente formulables y exentos de prejuicios que podrían caer con un simple cambio de enfoque. Me deseo suerte.

This entry was posted on August 4, 2012 at 4:31 pm and is filed under Physics / Física. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

3 Responses to “El GHZ desenmascarado”

Completar la mecánica cuántica | Coleman's Missing Box Says:
August 27, 2015 at 11:48 am | Reply
[…] 3A. Las correlaciones exactas a distancia no son acciones físicas, sino dependencias funcionales Las demostraciones de imposibilidad de compleción de la mecánica cuántica basadas en correlaciones exactas (GHZ) son inconcluyentes, porque equivalen al lema previo (trivial) del teorema de Bell (“espín arriba” en partícula (1) implica “espín abajo” en partícula (2), con dispersión nula para la suma y dispersiones no nulas para cada uno de los sumandos). Esta es una dependencia funcional entre variables compatibles. Malamente podrían dar valores no correlacionados, si dependen funcionalmente unos de otros. Ya demostré este punto para el GHZ. […]
Completing Quantum Mechanics | Coleman's Missing Box Says:
September 1, 2015 at 9:59 am | Reply
[…] 3A. Exact correlations at a distance are not physical actions, but functional dependences The impossibility proofs concerning any completion of quantum mechanics based on exact correlations (GHZ) are thus inconclusive, as they are equivalent to the (trivial) preliminary lemma in Bell’s theorem (“spin up” for particle (1) implies “spin down” for particle (2), with zero dispersion for the sum and non-zero dispersion for each of the terms in the sum). This is a functional dependence between compatible variables. They could hardly produce anything other than perfect correlation, as they are respective functions of each other. I already proved this point for GHZ. […]
coherencia.relativa Says:
November 30, 2022 at 10:32 am | Reply
Criticas respecto de las desigualdades tipo Bell (word): https://docs.google.com/document/d/14-oorZaLiKj8_IhoI7X5-h87vnmt7uL9/edit?usp=sharing&ouid=112357525207055552221&rtpof=true&sd=true

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