Variables… y constantes que varían


Una importante motivación en este blog es reflexionar sobre temas bien conocidos de física teórica, buscando alternativas a los caminos más frecuentados, ofreciendo especulaciones, técnicas, y todo lo que pueda dar una nueva perspectiva sin inventar dimensiones ocultas o universos invisibles, sino ciñéndome a métodos a los que, creo, les queda jugo por exprimir.

En los libros de mecánica analítica encontrarás la técnica de los multiplicadores de Lagrange para la resolución de ligaduras. También está la de Hamilton y los corchetes de Poisson. Quizá recordéis una limitación de ambos, Hamilton y Poisson, cuando se encuentra uno con ligaduras. Tras pensar intermitente pero cabezonamente sobre esta cuestión he dado con una manera de vencer esta limitación. Aquí la expongo y la someto a cualquiera que quiera hacer observaciones, objeciones, ampliaciones, u ojalá, contarme su utilidad. Mi objetivo último es su aplicación en el formalismo cuántico, pero si alguien le encuentra utilidad (o alguna limitación que a mí no se me ocurre) estudiando cojinetes mecánicos, pues bienvenido sea.

La ortodoxia dice: no existe un método de los multiplicadores de Lagrange en la formulación de Hamilton de la mecánica. Demostraré que sí existe tal método, aparte del propuesto por Dirac en los años 60. Pero antes hay que dar unas cuantas vueltas a la cuestión para ver que nuestros ancestros intelectuales tiraron la toalla demasiado pronto. Explicaré brevemente qué son el método de Lagrange, el de Hamilton y el de Poisson.

 

Método de Lagrange

Coordenadas generalizadas: q_{1},\cdots,q_{n}. Es el conjunto de parámetros (funciones del tiempo q_{i}\left(t\right)) que especifican una configuración (posición) del sistema.

Acción:

S=\int dtL\left(q,\dot{q}\right)\qquad\textrm{(A)}

La formulación de Lagrange de la mecánica dice que la acción es estacionaria (no varía en primer orden de los parámetros infinitesimales de variación) bajo transformaciones infinitesimales (pequeños cambios arbitrarios en las coordenadas y velocidades). Si uno varía (A) bajo cambios pequeños y arbitrarios q\mapsto q+\delta q, q\mapsto\dot{q}+\delta\dot{q} que no dependen del tiempo y se anulan en los límites de integración, encuentra:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L'}{\partial q}=0\qquad\textrm{(EL)}

que se llaman ecuaciones de Euler-Lagrange, equivalentes a las de Newton. L se llama función de Lagrange o lagrangiano, y a todos los efectos es la energía cinética menos la potencial.

 

Método de Hamilton

El método de Hamilton se basa en un cambio de variables y la introducción del llamado hamiltoniano del sistema, H, que comienza su vida como una función auxiliar y acaba convirtiéndose en protagonista de la física:

q,\dot{q}\longmapsto q,p_{q}\qquad\textrm{(h.i)}

p_{q}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\qquad\textrm{(h.ii)}

H=\sum_{q}p_{q}\dot{q}-L\qquad\textrm{(h.iii)}

Hay que entender que \dot{q}=\dot{q}\left(q,p\right) y por tanto L=L\left(q,\dot{q}\left(q,p\right)\right). Pero hacer estas sustituciones para demostrar las ecuaciones de Hamilton es el camino equivocado. La demostración sencilla está, p. ej., en la Wikipedia y se basa en usar diferenciales:

dH=\sum_{q}\left(\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p_{q}}dp_{q}\right)

dL=\sum_{q}\left(\frac{\partial L}{\partial q}dq+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}d\dot{q}\right)=

=\sum_{q}\frac{\partial L}{\partial q}dq+\sum_{q}p_{q}d\dot{q}=\sum_{q}\frac{\partial L}{\partial q}dq+d\left(\sum_{q}p_{q}\dot{q}\right)-\sum_{q}\dot{q}dp_{q}\Rightarrow

d\left(\sum_{q}p_{q}\dot{q}-L\right)=dH=\sum_{q}\dot{q}dp_{q}-\sum_{q}\frac{\partial L}{\partial q}dq\Rightarrow

\sum_{q}\left(\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p_{q}}dp_{q}\right)=\sum_{q}\left(\dot{q}dp_{q}-\frac{\partial L}{\partial q}dq\right)

 Las famosas ecuaciones de Hamilton son, pues:

\frac{\partial H}{\partial q}=-\dot{p}_{q}\qquad\textrm{(H.i)}

\frac{\partial H}{\partial p_{q}}=\dot{q}\qquad\textrm{(H.ii)}

 

El corchete (o paréntesis) de Poisson

El corchete de Poisson es una técnica refinada para expresar lo mismo con unas ecuaciones que demuestran la simetría entre las posiciones y los momentos en mecánica. Tienen un significado geométrico muy profundo, que es precioso, con corolarios como que todo movimiento con unas \left(q,p\right) dadas tiene un movimiento “dual” con las correspondientes \left(Q,P\right), con Q=p y P=-q. Pero desgraciadamente tenemos que omitir estas delicatessen físicomatemáticas.

\left\{ A,B\right\} _{P}=\sum_{q}\left(\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p_{q}}-\frac{\partial B}{\partial q}\frac{\partial A}{\partial p_{q}}\right)

 Usando (H.i) y (H.ii):

\dot{A}=\sum_{q}\left(\frac{\partial A}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial A}{\partial p_{q}}\dot{p}_{q}\right)+\frac{\partial A}{\partial t}=

=\sum_{q}\left(\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p_{q}}-\frac{\partial A}{\partial p_{q}}\frac{\partial H}{\partial q}\right)+\frac{\partial A}{\partial t}=\left\{ A,H\right\} _{P}+\frac{\partial A}{\partial t}

Así que derivar una función dinámica (que no depende explícitamente del tiempo) respecto al tiempo equivale a “corchetearla” con el hamiltoniano.

Ligaduras

Las ligaduras son constricciones mecánicas, condiciones que hacen que no todas las coordenadas sean independientes.  En el caso más general, se expresan mediante ecuaciones o quizá desigualdades. Hay muchos tipos, con nombres estrambóticos: holónomas, esclerónomas, reónomas… Me interesan aquellas que pueden expresarse con:

Ecuaciones de ligadura: Q\left(q,\dot{q}\right)=0, comoquiera que se llamen.

 

Método de los multiplicadores de Lagrange

Ecuación de ligadura:

Q=0

Nuevo lagrangiano:

L\mapsto L'=L+\lambda Q

Ecuaciones de Euler-Lagrange para el sistema con ligadura:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L'}{\partial q}=0\qquad\textrm{(i)}

\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial\dot{\lambda}}-\frac{\partial L'}{\partial\lambda}=0\qquad\textrm{(ii)}

 Como \partial L'/\partial\dot{\lambda}=0 y \partial L'/\partial\lambda=Q, queda:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=-\lambda\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial Q}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial Q}{\partial q}\right)\qquad\textrm{(L.i)}

Q=0\qquad\textrm{(L.ii)}

Lo que aparece a la derecha multiplicando a \lambda en las ecuaciones (L.i) son las fuerzas de ligadura. La componente \left(d/dt\right)\left(\partial Q/\partial\dot{q}_{a}\right)-\partial Q/\partial q_{a} es la componente de la fuerza de ligadura en la dirección correspondiente a la coordenada generalizada q_{a}; y la ecuación (L.ii) es precisamente la ecuación de ligadura. Un método más pedestre de resolver el problema (alternativo al anterior) es utilizar las ecuaciones de ligadura para reducir el número de variables, hacer un cambio de variables que reduzca la dimensión del problema:

r_{b}=r_{b}\left(q_{1},\cdots q_{n}\right)

y con las nuevas variables r_{1},\cdots,r_{m}, con m<n, plantear el problema variacional y llegar a las ecuaciones “reducidas” directamente:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L_{R}}{\partial\dot{r}}-\frac{\partial L_{R}}{\partial r}=0\qquad\textrm{(iii)}

donde L_{R} es L_{R}\left(r\left(q,\dot{q}\right),\dot{r}\left(q,\dot{q}\right)\right)=L\left(q,\dot{q}\right).

Pero la ventaja que ofrece el método de los multiplicadores de Lagrange es que permite obtener las fuerzas de ligadura. Esto puede ser conveniente en ingeniería, donde las fuerzas constrictivas interesan, porque los materiales no mantienen una ecuación de constricción indefinidamente, sino que sufren fatiga y deformaciones plásticas, con lo que cambian lentamente su condición. También presumiblemente tienen interés en mecánica cuántica, ya que es lógico pensar que si las ligaduras se han producido dinámicamente, los sistemas correspondientes sufran fluctuaciones cuánticas en torno a la condición de ligadura.

 

Problemas con las ligaduras

Cuando uno tiene ligaduras, dicen los tratados clásicos, no puede usar el método de Hamilton. Veamos por qué. Describir una ligadura obliga a ampliar el espacio de configuración al incluir una “variable” \lambda, y lo de las comillas es porque en realidad es constante. Habría que ser un mago para describir un sistema con menos grados de libertad introduciendo más grados de libertad. Aunque una constante no es que digamos un grado de libertad típico, considerarla como tal, sólo a efectos de introducir variaciones infinitesimales de la misma, nos permite derivar la ecuación de ligadura como una ecuación de Euler-Lagrange más. Es la ecuación (ii), que recupera la condición Q=0. El problema con Hamilton es que hay que introducir un momento generalizado asociado p_{\lambda} a la coordenada ficticia \lambda, que al ser nulo por definición, no puedo aplicarle transformaciones infinitesimales. (Dirac resuelve esto introduciendo la condición p_{\lambda}=0 como ligadura y procediendo iterativamente con el corchete de Poisson, añadiendo sucesivos multiplicadores de Lagrange y cruzando los dedos para que a un grado bajo de iteración ¡el corchete de Poisson de la ligadura con el hamiltoniano se anule idénticamente!) Metodológicamente hablando esto es lo siguiente a rezar. Lo deseable sería una manera de introducir esta variable de momento canónico para deducir que se anula como consecuencia de las ecuaciones de evolución. Veamos cómo es esto posible.

 

Primera idea (fallida):

 

L\mapsto L'=L+\lambda\dot{\lambda}+\lambda Q

La idea es sumar una derivada total respecto al tiempo de una función cualquiera de nuestra “variable dinámica” \lambda. Si hacemos esto, las ecuaciones de evolución no cambian:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L'}{\partial q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\left(L+\lambda\dot{\lambda}+\lambda Q\right)-\frac{\partial}{\partial q}\left(L+\lambda\dot{\lambda}+\lambda Q\right)=

=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}+\lambda\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial Q}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial Q}{\partial q}\right)=0

\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial\dot{\lambda}}-\frac{\partial L'}{\partial\lambda}=\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{\lambda}}\left(\lambda\dot{\lambda}+\lambda Q\right)-\frac{\partial}{\partial\lambda}\left(\lambda\dot{\lambda}+\lambda Q\right)=\dot{\lambda}-\dot{\lambda}-Q=-Q=0

que se reduce a:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=-\lambda\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial Q}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial Q}{\partial q}\right)\qquad\textrm{(ELC.i)}

Q=0\qquad\textrm{(ELC.ii)}

Hasta ahora, todo bien. La fuerza de ligadura aparece en el término de la derecha “conectada” al problema mediante la constante \lambda.

La ecuación variacional para \lambda no es otra que la ecuación de ligadura. El problema es que, si queremos traducir esto a lenguaje hamiltoniano, hemos definido un momento canónico p_{\lambda} que es:

p_{\lambda}=\frac{\partial L'}{\partial\dot{\lambda}}=\lambda

Esto no es cero idénticamente, pero desde luego no es consistente considerarlo como una variable analíticamente independiente de \lambda. De hecho, el problema surge todavía antes, cuando intentamos despejar las velocidades en función de los momentos. Recuérdese que H\left(q,p_{q}\right) sólo tiene sentido cuando puedo despejar las velocidades en función de coordenadas y momentos. Como \dot{\lambda} ha desaparecido en la relación que define el momento canónico asociado, no es posible despejar. Es por ello que a veces se afirma, sin grandes explicaciones al respecto (véase, p. ej., la Wikipedia) que no es posible utilizar una relación lineal en \dot{\lambda} para estos parámetros auxiliares. ¿Por qué? Esta es la razón.

 

Con el fin de explicar mi método, necesito recordar qué es una derivada variacional. No hay prácticamente ningún libro (al menos ninguno de los más conocidos) en teoría de campos que utilice la definición más general de derivada variacional. Aunque los físicos ignoran alegremente esta definición más general, estoy seguro de que a los matemáticos que conocen bien el análisis variacional les es familiar. Si un lagrangiano depende de un orden arbitrariamente alto de derivación: L=L\left(q,\dot{q},\ddot{q},\cdots\right)

la derivada variacional es:

\frac{\delta L}{\delta q}=\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}+\frac{d^{2}}{dt^{2}}\frac{\partial L}{\partial\ddot{q}}-\cdots=

=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\frac{d^{n}}{dt^{n}}\frac{\partial L}{\partial q^{\left(n\right)}}

Las ecuaciones de Euler-Lagrange en este caso se generalizan a:

\frac{\delta L}{\delta q}=0\qquad\textrm{(G.EL})

que parece simple, pero en general es infinitamente más complicado, y será importante en orden 2.

 

En nuestro caso hay varias:

Trabas

1) En un sistema genérico con ligaduras dependientes de la velocidad, expresar las \dot{q} como funciones de las p_{q} puede ser complicado o imposible.

2) f no puede ser lineal en \dot{\lambda}, de otra forma \partial/\partial\dot{\lambda} eliminará \dot{\lambda} y no podremos expresar \dot{\lambda} como función de p_{\lambda}

3) ¿No debería depender de \dot{p}_{\lambda}?

 

A la traba 1) es mejor acostumbrarse y esperar lo mejor; la traba 2) se resuelve sin más que observarla y escribir una f de 2º orden; y la traba 3) es demasiado pesimista o en realidad aparente: de hecho, la he incluido para preparar al lector al que le pueda sorprender una dependencia en \dot{p}_{\lambda} que en realidad es, no sólo consistente, sino necesaria: Son las ecuaciones del movimiento las que no deberían depender de \ddot{\lambda} (o \dot{p}_{\lambda}); como veremos, el hamiltoniano puede depender de \dot{p}_{\lambda} y todo funciona. En efecto, debe depender de \dot{p}_{\lambda} para que desaparezca el término en \dot{p}_{\lambda} en las ecuaciones de Hamilton.

 

Pero la verdadera traba es:

4) El momento canónico (de \lambda) ya no es una función lineal de las velocidades, sino que ¡depende de la aceleración!

La solución se muestra a continuación.

 

La idea corregida

 

Estos son los pasos:

1) Se generaliza el método de Lagrange incluyendo la derivada total respecto al tiempo de una función apropiada de \lambda. Esta función de \lambda deberá depender al menos de la derivada 2ª de \lambda respecto al tiempo:

L\mapsto L''=L+\frac{d}{dt}f\left(\lambda,\dot{\lambda}\right)+\lambda Q

2) Se generaliza la definición de la derivada variacional respecto a \lambda a una dependencia en órdenes superiores al primero en derivación temporal. Nos bastará con orden 2:

\frac{\delta L''}{\delta\lambda}=\frac{\partial L''}{\partial\lambda}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L''}{\partial\dot{\lambda}}+\frac{d^{2}}{dt^{2}}\frac{\partial L''}{\partial\ddot{\lambda}}

3) Se generaliza la definición del momento canónico asociado a la coordenada \lambda de forma completamente paralela a la extensión que hemos hecho de la derivada variacional. Si:

\frac{d}{dt}f\left(\lambda,\dot{\lambda}\right)=\frac{\partial f}{\partial\lambda}\dot{\lambda}+\frac{\partial f}{\partial\dot{\lambda}}\ddot{\lambda}

entonces:

p_{\lambda}=\frac{\partial L''}{\partial\dot{\lambda}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L''}{\partial\ddot{\lambda}}=

=\frac{\partial f}{\partial\lambda}+\frac{\partial^{2}f}{\partial\lambda\partial\dot{\lambda}}\dot{\lambda}+\ddot{\lambda}\frac{\partial^{2}f}{\partial\dot{\lambda}^{2}}-\left(\dot{\lambda}\frac{\partial^{2}f}{\partial\lambda\partial\dot{\lambda}}+\ddot{\lambda}\frac{\partial^{2}f}{\partial\dot{\lambda}^{2}}\right)=\frac{\partial f}{\partial\lambda}

 Ver que el sistema así extendido cumple exactamente las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange que el anteriormente definido no es difícil. Como

sólo hemos añadido una derivada total, las ecuaciones son las mismas, (ELC.i) y (ELC.ii). Lo más interesante es ver que el formalismo de Hamilton sigue su curso:

dL''=\sum_{q}\left(\frac{\partial L''}{\partial q}dq+\frac{\partial L''}{\partial\dot{q}}d\dot{q}\right)+\frac{\partial L''}{\partial\lambda}d\lambda+\frac{\partial L''}{\partial\dot{\lambda}}d\dot{\lambda}+\frac{\partial L''}{\partial\ddot{\lambda}}d\ddot{\lambda}+\frac{\partial L''}{\partial t}dt

dH''=\sum_{q}\left(\frac{\partial H''}{\partial q}dq+\frac{\partial H''}{\partial p_{q}}dp_{q}\right)+\frac{\partial H''}{\partial\lambda}d\lambda+\frac{\partial H''}{\partial p_{\lambda}}dp_{\lambda}+\frac{\partial H''}{\partial t}dt

p_{\lambda}=\frac{\partial L''}{\partial\dot{\lambda}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L''}{\partial\ddot{\lambda}}

Euler-Lagrange:

\frac{\partial L''}{\partial q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L''}{\partial\dot{q}}=\dot{p}_{q}

\frac{\partial L''}{\partial\lambda}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L''}{\partial\dot{\lambda}}-\frac{d^{2}}{dt^{2}}\frac{\partial L''}{\partial\ddot{\lambda}}=\dot{p}_{\lambda}

Supongamos que no hay dependencia explícita en el tiempo (para simplificar):

\frac{\partial L''}{\partial t}=\frac{\partial H''}{\partial t}=0

La demostración que sigue es un poco tediosa; si te aburre pasa directamente al ejemplo que hay a continuación para convencerte de que todo funciona. La prueba es completamente paralela a la deducción que he dado de las ecs. de Hamilton a partir de las de Euler-Lagrange. De:

dL''=\sum_{q}\left(\frac{\partial L''}{\partial q}dq+p_{q}d\dot{q}\right)+\frac{\partial L''}{\partial\lambda}d\lambda+\frac{\partial L''}{\partial\dot{\lambda}}d\dot{\lambda}+\frac{\partial L''}{\partial\ddot{\lambda}}d\ddot{\lambda}

no es difícil probar que:

dH''=\sum_{q}\dot{q}dp_{q}+\dot{\lambda}dp_{\lambda}-\sum_{q}\frac{\partial L''}{\partial q}dq-\frac{\partial L''}{\partial\lambda}d\lambda-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L''}{\partial\ddot{\lambda}}d\dot{\lambda}\right)

Igualando esto a:

dH''=\sum_{q}\left(\frac{\partial H''}{\partial q}dq+\frac{\partial H''}{\partial p_{q}}dp_{q}\right)+\frac{\partial H''}{\partial\lambda}d\lambda+\frac{\partial H''}{\partial p_{\lambda}}dp_{\lambda}

obtenemos:

\sum_{q}\left(\dot{q}dp_{q}-\dot{p}_{q}dq\right)+\dot{\lambda}dp_{\lambda}-\dot{p}_{\lambda}d\lambda-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L''}{\partial\ddot{\lambda}}d\dot{\lambda}\right)=

=\sum_{q}\left(\frac{\partial H''}{\partial q}dq+\frac{\partial H''}{\partial p_{q}}dp_{q}\right)+\frac{\partial H''}{\partial\lambda}d\lambda+\frac{\partial H''}{\partial p_{\lambda}}dp_{\lambda}

Es decir, se satisfacen las ecs. de Hamilton:

\frac{\partial H''}{\partial q}=-\dot{p}_{q}\qquad\textrm{(HE.i)}

\frac{\partial H''}{\partial p_{q}}=\dot{q}\qquad\textrm{(HE.ii)}

\frac{\partial H''}{\partial\lambda}=-\dot{p}_{\lambda}\qquad\textrm{(HE.iii)}

\frac{\partial H}{\partial p_{\lambda}}=\dot{\lambda}\qquad\textrm{(HE.iv)}

\frac{\partial L''}{\partial\ddot{\lambda}}=0\qquad\textrm{(HE.v)}

Lo más importante, con mucho, de las ecuaciones anteriores, es que el momento canónico p_{\lambda} no es cero ni una simple función de las coordenadas \lambda. Su anulación se deduce después, como consecuencia de las ecuaciones de evolución, con lo cual es una variable independiente y el sistema se puede investir de una estructura hamiltoniana.

 

Ejemplo

L=\frac{1}{2}m_{1}\dot{q_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m_{1}\dot{q_{1}}^{2}-V\left(q_{1},q_{2}\right)

Q\left(q_{1},q_{2}\right)=0

El hamiltoniano es:

H''=p_{q_{1}}\dot{q}_{1}+p_{q_{2}}\dot{q}_{2}+p_{\lambda}\dot{\lambda}-L''=

=p_{q_{1}}\frac{p_{q_{1}}}{m_{1}}+p_{q_{2}}\frac{p_{q_{2}}}{m_{2}}+p_{\lambda}^{2}-\frac{p_{q_{1}}^{2}}{2m_{1}}-\frac{p_{q_{2}}^{2}}{2m_{2}}-p_{\lambda}^{2}-\lambda\dot{p}_{\lambda}-\lambda Q+V=

=\frac{p_{q_{1}}^{2}}{2m_{1}}+\frac{p_{q_{2}}^{2}}{2m_{2}}-\lambda\dot{p}_{\lambda}-\lambda Q+V

El 1\textsuperscript{er} par de ecs. de Hamilton para las q es de la forma (\partial_{q}H''=-\lambda\partial_{\dot{q}}Q+\partial_{q}V):

-\lambda\frac{\partial Q}{\partial\dot{q_{i}}}+\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=-\dot{p}_{q_{i}},\: i=1,2

que coincide con:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}+\lambda\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial Q}{\partial\dot{q}_{i}}-\frac{\partial Q}{\partial q_{i}}\right)=0\Rightarrow\dot{p}_{q_{i}}+\frac{\partial V}{\partial q_{i}}-\lambda\frac{\partial Q}{\partial q_{i}}=0

Y el 2º (\partial_{p_{q}}H''=p_{q}/m):

\frac{p_{q_{i}}}{m_{i}}=\dot{q}_{i},\: i=1,2

Las de las \lambda, a continuación. 1ª (\partial_{\lambda}H''=-\dot{p}_{\lambda}-Q):

-\dot{p}_{\lambda}-Q=-\dot{p}_{\lambda}

2ª (\partial_{p_{\lambda}}H''=0):

0=\dot{\lambda}

Reagrupando todas las ecuaciones de Hamilton para el sistema ligado, tenemos:

\dot{p}_{q_{i}}=\lambda\frac{\partial Q}{\partial\dot{q}_{i}}-\frac{\partial V}{\partial q_{i}},\: i=1,2\qquad\textrm{(E.i)}

\frac{p_{q_{i}}}{m_{i}}=\dot{q}_{i},\: i=1,2\qquad\textrm{(E.ii)}

Q=0\qquad\textrm{(E.iii)}

\dot{\lambda}=0\qquad\textrm{(E.iv)}

 

¿Y los corchetes de Poisson?

¿Funciona todo esto con los corchetes de Poisson? Sí que funciona. Veámoslo. Recuérdese que, desde el principio, las ecuaciones que hay

que recuperar son (E.i)-(E.iv). Omitimos ahora el molesto índice i de q_{i} (las dos q satisfacen ecs. análogas):

\dot{q}=\left\{ q,H''\right\} _{P}=\left\{ q,\frac{p_{q}^{2}}{2m}\right\} _{P}=2\frac{1}{2m}\left\{ q,p_{q}\right\} _{P}p_{q}=\frac{p_{q}}{m}

\dot{p}_{\lambda}=\left\{ p_{\lambda},H''\right\} _{P}=\left\{ p_{\lambda},-\lambda\dot{p}_{\lambda}\right\} _{P}-\left\{ p_{\lambda},\lambda Q\right\} _{P}=\dot{p}_{\lambda}+Q\Rightarrow Q=0

\dot{\lambda}=\left\{ \lambda,H''\right\} _{P}=\left\{ \lambda,-\lambda\dot{p}_{\lambda}\right\} _{P}+\left\{ \lambda,-\lambda Q\right\} _{P}=-\lambda\left\{ \lambda,\dot{p}_{\lambda}\right\} _{P}=0

\left\{ \lambda,\dot{p}_{\lambda}\right\} _{P} es cero porque:

\left\{ \lambda,p_{\lambda}\right\} _{P}=1\Rightarrow\left\{ \lambda,\dot{p}_{\lambda}\right\} _{P}+\left\{ \dot{\lambda},p_{\lambda}\right\} _{P}=\left\{ \lambda,\dot{p}_{\lambda}\right\} _{P}=0

La última ecuación es:

\dot{p}_{q}=\left\{ p_{q},H''\right\} _{P}=\left\{ p_{q},\frac{p_{q}^{2}}{2m}\right\} _{P}+\left\{ p_{q},-\lambda Q\right\} _{P}+\left\{ p_{q},V\left(q\right)\right\} _{P}=

=-\lambda\left\{ p_{q},Q\right\} _{P}+\left\{ p_{q},V\left(q\right)\right\} _{P}=\lambda\frac{\partial Q}{\partial q}-\frac{\partial V}{\partial q}

 

En conclusión:

m_{i}\dot{q}_{i}=p_{q_{i}}

\dot{p}_{q_{i}}=\lambda\frac{\partial Q}{\partial q_{i}}-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}

Q=0

\dot{\lambda}=0

 

Conclusión: Sí puede usarse el método de Hamilton para sistemas con ligaduras. El precio a pagar es generalizar la derivada variacional respecto al multiplicador de Lagrange a órdenes superiores de derivación temporal y extender análogamente la definición del momento canónico asociado.

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