¿Electrones fusilli, tagliatelle o fettuccine?


En mi última entrada sobre el método de Hamilton para sistemas con ligaduras me he dejado algunas cosas pendientes: La derivación general que di no es del todo correcta, aunque el método funciona, como se ve claramente en el ejemplo. En cuanto tenga tiempo añadiré las explicaciones.

Ahora quería añadir unos comentarios sobre ciertos estados cuánticos “exóticos” que han ido apareciendo en la literatura en los últimos años generando cierta sorpresa. Estos estados se refieren fundamentalmente a los fotones, pero argumentos muy parecidos son válidos presumiblemente para partículas que satisfacen la ecuación de Schrödinger, ya que la aproximación paraxial de la óptica es formalmente una ecuación de Schrödinger. Estos estados exóticos se conocen como paquetes de Laguerre-Gauss, Hermite-Gauss, etc.

Básicamente de lo que se trata es de que existen estados cuánticos que representan posibles modos de evolución de partículas propagándose libremente en una dirección y con un momento angular orbital empaquetado en el haz, identificable con un movimiento orbital en las direcciones perpendiculares a la dirección de movimiento libre. Así, la componente z , digamos, es un paquete gaussiano en evolución libre, mientras que las componentes x  e y  (el factor correspondiente de la función de onda), se representan por un polinomio de Laguerre o de Hermite, por ejemplo. Esto es paradójico, porque se nos ha enseñado que la evolución libre siempre conduce a paquetes que se ensanchan o dispersan, y sin embargo estos estados parecen transportar un movimiento confinado, orbital, en su evolución.

La razón de que encontremos paradójico esto es que la propagación libre se enseña mal en los libros de mecánica cuántica. Intentaré explicarlo. El procedimiento habitual de construcción axiomática de la mecánica cuántica se basa en Von Neumann, y dice que existen conjuntos completos de observables compatibles. Una vez identificados estos observables compatibles que expanden cualquier estado y contienen toda la información estadística posible del estado, se utilizan para representar la evolución de un estado cuántico arbitrario. En el caso del momento lineal, existen tres operadores compatibles (que conmutan dos a dos), \left(\hbar/i\right)\partial/\partial x\overset{{\scriptstyle \textrm{def}}}{=}P_{x} , \left(\hbar/i\right)\partial/\partial y\overset{{\scriptstyle \textrm{def}}}{=}P_{y} , \left(\hbar/i\right)\partial/\partial z\overset{{\scriptstyle \textrm{def}}}{=}P_{z} .

Esto presupone que en un laboratorio es factible garantizar que una partícula libre es autoestado de P_{z} , y de P_{x} , y de P_{y} . Esto no es así: Lo primero es que tiene que ser un autoestado de P_{z} , donde z  es la dirección de filtrado elegida, pero no necesariamente de P_{y}  y de P_{x} . De hecho, los diafragmas y colimadores, ranuras, etc., utilizados son esencialmente obstáculos físicos condicionantes en las coordenadas de posición x  e y , y por tanto representables por funciones potenciales “de obstáculo” V_{i}\left(x,y\right) , habrán producido un perfil en \left(x,y\right)  que ni es un paquete en propagación libre ni tiene por qué serlo.

Por tanto lo natural es decir que una partícula libre con un momento lineal seleccionado es un autoestado de P_{z} , donde z  es la dirección de filtrado elegida y que, en principio, no tenemos absolutamente ni idea de qué es en P_{x}  y P_{y} . La gente habitualmente no ve esto, porque en general considera que la distinción entre medidas filtrantes o no es una cursilería o erudición innecesaria, cuando en realidad es absolutamente crucial. Pasemos inmediatamente a relajar el aserto “no tenemos absolutamente ni idea”, porque lo cierto es que se puede postular cómo es el estado de p_{x}  y p_{y}  de manera muy natural.

Si al cabo de un tiempo característico de relajación la partícula es efectivamente libre, podemos afirmar que es un autoestado del hamiltoniano libre (energía cinética):

H=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)

Añadamos la exigencia de que ha de ser un autoestado de la dirección de filtrado del momento lineal. Tenemos:

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)\psi=\frac{p_{z}^{2}}{2m}\psi

\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial z}\psi=p_{z}\psi

Esto es equivalente a:

\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right)\psi=0

\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial z}\psi=p_{z}\psi

Por tanto el estado que representa a una partícula con propagación libre y determinada en p_{z} , quizá no más general, pero sí suficientemente general, es una función armónica en x, y   multiplicado por un autoestado de P_{z} .

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