Completar la mecánica cuántica


1. Un problema casi centenario

Vuelvo al ataque con la cuestión de la completitud de la mecánica cuántica. Mi opinión, desde luego, no ha cambiado en más de quince años. Tengo que insistir brevemente en que:

1A. Es un problema
1B. Está sin resolver (algo más discutible…)

Que es un problema estaría claro ya por la docena de teorías que intentan resolverlo: la ortodoxa, de Von Neumann; la de De Broglie-Bohm; la transaccional; la de universos que se bifurcan, de Everett; la de las historias consistentes (inspirada en la anterior), la “gravitatoria”… El grupo los que lo han abordado incluye a popes como Weinberg, ‘t Hooft, Gell-Mann o Penrose. Aunque muchos se encogen de hombros y dicen: “¿qué problema?”.

Los motivos son más que sociocientíficos. La imagen tradicional de V. Neumann para la medición, en contraposición a la más fundamental evolución cuántica, es que a veces tengo estados suma, \left|a_1\right\rangle +\left|a_2\right\rangle, cada uno portador de la posibilidad de un resultado entre dos posibles (a_1, a_2) para una cierta propiedad A. Y que cuando mido qué resultado se verifica, y el registro da “resultado a_1“, debo actualizar el estado a:

\left|a_1\right\rangle +\left|a_2\right\rangle \rightarrow \frac{1}{\left\Vert \left|a_1\right\rangle \right\Vert }\left|a_1\right\rangle

Es decir, debo omitir la “amplitud no registrada”, \left|a_2\right\rangle, y redimensionar el estado saliente dividiendo por la raíz cuadrada de su probabilidad. Esto es necesario para actualizar la estadística, pero rompe la linealidad (proporcionalidad entre el estado saliente y el entrante). Pero si lo eliminamos como requisito:

\left|a_1\right\rangle +\left|a_2\right\rangle {\rightarrow} \left|a_1\right\rangle

perdemos precisamente por ese motivo la unitariedad (conservación de la probabilidad). Luego la cuestión es: unitariedad o linealidad; no podemos salvar las dos a la vez.

Parece una receta para preparar el pollo, más que una ley física…

En cuanto a las explicaciones basadas en la matriz densidad, ya dije que omiten la cuestión de los registros.

Esta no es una cuestión de palabras. Hoy día tanto la teoría como el experimento han avanzado hasta un punto en que es posible (1): el borrado de una medición cuántica y (2): la medición contrafactual. Es por tanto necesario que sobrevivan dinámicamente ambas componentes del estado cuántico. Las amplitudes no registradas (como la \left|a_2\right\rangle de nuestro ejemplo) deben seguir evolucionando para conformar la envolvente de la onda si se procediera a un borrado cuántico en la evolución posterior; o si se ubica el detector en una trayectoria destinada a la amplitud “vacía” en una medición contrafactual como la del detector de bombas de Elitzur y Vaidman. Estas consideraciones hacen inescapable la siguiente conclusión:

El estado actual de la experimentación confirma que el postulado de V. Neumann está refutado, pues las amplitudes sin registro tienen consecuencias físicas.

2. No se necesita una revolución para el New York Times

Existen elementos en la teoría que apuntan de forma inequívoca hacia la solución. Estas son las claves:

2A. Invariancia de gauge \rightarrow Indeterminación de gauge

2B. Evolución topológica \equiv Evolución sin grados de libertad locales

Estos elementos están presentes en la teoría desde hace mucho, pero nadie los ha relacionado con la cuestión de la completitud de la mecánica cuántica o con el indeterminismo cuántico. La explicación, necesariamente provisional y breve, es:

2A: Solo mediante la invariancia de gauge se puede explicar el indeterminismo cuántico; y solo habiendo hecho esta correspondencia y habiendo comprendido sus implicaciones, puede completarse la mecánica cuántica mediante variables dinámicas de carácter topológico.

Dirac, 1964, Lectures on Quantum Mechanics; pág. 17:

Esto proporciona una diferencia entre el formalismo hamiltoniano generalizado respecto a lo que nos es familiar en dinámica elemental. Tenemos funciones arbitrarias del tiempo que aparecen en la solución general de las ecuaciones del movimiento con condiciones iniciales dadas. Estas funciones arbitrarias del tiempo deben significar que estamos usando un esquema matemático que contiene aspectos arbitrarios, por ejemplo, un sistema de coordenadas que podemos elegir de forma arbitraria, o el gauge en electrodinámica. Como resultado de esta arbitrariedad en el esquema matemático, las variables dinámicas en el futuro no están completamente determinadas por los valores iniciales de las mismas, y esto se muestra a través de la aparición de dichas funciones arbitrarias en la solución general.

2B: La evolución topológica es una evolución sin propagación, porque el número de ligaduras es exactamente igual al número de grados de libertad (amplitudes de campo).

Y esto es todo lo que puedo leer de momento en las tarjetas 2A y 2B.

3. Pero ¿no está demostrado que es imposible completar la mecánica cuántica?

No. Los teoremas de imposibilidad de variables ocultas, que parecen implicar o bien un realismo no local o bien el no realismo tradicional, etc., al final dejan la cuestión intacta. Todos están afectados, o bien de premisas falsas (“siempre que compruebo que A_1 es -1, estoy comprobando que A_2 es +1″, en CHSHB, también llamado “teorema de Bell”), o de conclusiones insuficientes (véase 3A). Aquí tendré que dejar las precisiones para una entrada posterior, pero adelanto que la clave de la cuestión es el contexto. Es bien sabido que las desigualdades de Bell son violadas por la mecánica cuántica. Eso sólo ocurre porque uno asume que la medición \sigma_{z}=+1 para la partícula 1 es lo mismo que haber medido que \sigma_{z}=-1 para la partícula 2. Si donde está la partícula 2 estoy midiendo \sigma_{x} en lugar de \sigma_{z}, tal aseveración ya no es cierta. El resultado que adelanto es que, cuando uno incluye el hamiltoniano de interacción sobre la partícula 2, los valores esperados de \sigma_{z} (que no se ha medido, recordémoslo), cambian instantáneamente (de forma totalmente local) en 2. Cualquier comprobación experimental (como las de Aspect et al.) de la validez de las probabilidades cuánticas es incapaz de dilucidar lo que habría pasado si yo hubiera medido otra cosa. Cuando uno incluye esta descripción hamiltoniana, puramente cuántica, el resultado es que se satisfacen las desigualdades de CHSHB, con lo que la mecánica cuántica ya no las viola. Desgraciadamente tengo que posponer esa discusión.

3A. Las correlaciones exactas a distancia no son acciones físicas, sino dependencias funcionales \Rightarrow Las demostraciones de imposibilidad de compleción de la mecánica cuántica basadas en correlaciones exactas (GHZ) son inconcluyentes, porque equivalen al lema previo (trivial) del teorema de Bell (“espín arriba” en partícula (1) implica “espín abajo” en partícula (2), con dispersión nula para la suma y dispersiones no nulas para cada uno de los sumandos). Esta es una dependencia funcional entre variables compatibles. Malamente podrían dar valores no correlacionados, si dependen funcionalmente unos de otros. Ya demostré este punto para el GHZ.

3B. Las correlaciones no exactas a distancia tampoco son acciones físicas, sino dependencias funcionales entre variables que no conmutan \Rightarrow.

Además, las demostraciones de imposibilidad de compleción de la mecánica cuántica basadas en correlaciones no exactas (el teorema CHSHB) son inconcluyentes, porque ignoran cómo el contexto (véase 3C) altera el estado cuántico, al suponer todavía válidas las correlaciones exactas apuntadas en 3A, cuando en realidad ya no lo son (la información sobre el valor de la variable B en el punto 2, exterior al cono causal del punto 1, ya no es vigente en el punto 1, en el sentido de implicar que si B vale +1 en el punto 2, entonces B vale -1 en el punto 1, si lo que estamos haciendo en 1 es medir A con \left[A,B\right]\neq0).

3C. El contexto cambia la naturaleza de la propia pregunta experimental: La interacción de la medición aborta automáticamente la validez de las correlaciones a distancia para variables incompatibles con la que se está midiendo. Eso es porque si en el punto (2) estoy midiendo la componente x del espín, estoy destruyendo el perfil del estado en la componente z (y cualquier otra incompatible la x). En otras palabras: El físico que mide la componente z del espín para la partícula (1) no tiene derecho a afirmar que la componente z del espín para la partícula (2) es la opuesta, si lo que está ocurriendo en (2) fuera de su alcance causal es una medición de una componente incompatible.

3D. La noción de que cualquier modelo de variables ocultas tiene la obligación de expresar los resultados de las mediciones como propiedades preexistentes del sistema, puede parecer natural, y puede haberla sostenido Einstein, pero es excesiva en último término y debe descartarse. Cuando esta exigencia se hace en general (sin aludir a la mecánica cuántica), podría llamarse prejuicio de la separabilidad ad infinitum sistema-entorno. Cuando dicha exigencia se hace desde el formalismo cuántico, se basa siempre en una noción errónea que se conoce como realismo de los autovalores: Los autovalores no son propiedades del sistema, es el término de interacción de la medición el que los elige. En este sentido, los autovalores reales de los operadores autoadjuntos (observables) que un examen ingenuo del formalismo cuántico parece propugnar como propiedades del sistema (atributos ontológicos, digamos), son en realidad propiedades de la interacción del sistema con su entorno físico, que pueden ser relevantes o no, según sea la evolución de ambos.

La noción de contexto apareció por primera vez en un artículo de Bohr respondiendo al famoso EPR y con idéntico título. Cuando mido, condiciono o incluso determino lo que voy a medir.

3E. Los teoremas de tipo ontológico (para ser más concreto, el teorema de Bell-Kochen-Specker) “encuentran” (demuestran la existencia, pues el teorema no es constructivo) unos “observables” que, siendo compatibles, no pueden tener autovalores predefinidos que los determinen. Toda esta línea de investigación se basa en el concepto de definitud de valores, que nace con Von Neumann. En realidad, estos “observables” BKS, siendo operadores autoadjuntos, y aunque están embebidos en la envolvente lineal del subespacio del espín, no son en sí mismos observables de espín, por lo tanto carecen de sentido físico. La demostración es tan sencilla que produce asombro que nadie, hasta donde yo sé, la haya puesto de manifiesto. Por si alguien está interesado, puede leer las líneas que siguen.

XXX. Solo para expertos:


Teorema de irrelevancia BKS

Hay una amplia tradición en la física de teoremas llamados no go. Estos consisten en demostrar la inviabilidad de una determinada concepción teórica, por ser matemáticamente irrealizable. Casos conocidos son el teorema de Coleman-Mandula, que prohíbe el maridaje entre simetrías internas y espacio temporales; o el teorema de Weinberg-Witten, que declara la imposibilidad de fabricar un gravitón a partir de dos fotones, porque sería dinámicamente irrealizable. Paralela a esta tradición, está la de examinar las escapatorias posibles. Como no se puede contradecir un teorema matemático, tal escapatoria siempre consiste en examinar las premisas y eliminar o relajar alguna de ellas. De esta forma de pensar nacen teorías como la supersimetría (para escapar del teorema de Coleman-Mandula) o la dualidad gravitación-gauge (para escapar del teorema de Weinberg-Witten).

¿Pero qué pasa si uno examina las premisas y lo que descubre es que; no es que alguna de ellas sea demasiado fuerte, sino meramente inconsistente con lo que ya sabemos? En otras palabras: es únicamente relevante para casos no físicos. Es el caso de BKS.

El argumento BKS tiene una fractura en su muro de carga. En concreto:

Sea \text{\ensuremath{\mathscr{H}}} un espacio de Hilbert de dimensión finita. Y sea \dim\left(\text{\ensuremath{\mathscr{H}}}\right)\geq3

Considérense A:\text{\ensuremath{\mathscr{H}}}\rightarrow\text{\ensuremath{\mathscr{H}}} y B:\text{\ensuremath{\mathscr{H}}}\rightarrow\text{\ensuremath{\mathscr{H}}} operadores autoadjuntos tales que además: \left[A,B\right]=0.
Llamemos operador de espín a cualquier combinación proyectiva:

S_{\boldsymbol{n}}=n_{x}S_{x}+n_{y}S_{y}+n_{z}S_{z}/\: n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}=1

donde S_{x}, S_{y} y S_{z} son generadores para el álgebra de Lie de SO\left(3\right):

\left[S_{i},S_{j}\right]=i\hbar\epsilon_{ijk}S_{k}

(donde i, j, k toman los valores x, y, z y todas sus permutaciones cíclicas)

Entonces, o ambos operadores son el mismo operador de espín (módulo signo) o al menos uno de los dos no es un operador de espín.
Cualesquiera otros tales operadores son no físicos. La razón es que, mientras que la dimensión de \text{\ensuremath{\mathscr{H}}} puede ser arbitrariamente alta, la del espacio proyectivo de \boldsymbol{n}-parametrizaciones físicas n_{x}S_{x}+n_{y}S_{y}+n_{z}S_{z} con \left\Vert \boldsymbol{n}\right\Vert =1 se queda anclado en dimensión 2, independientemente de \dim\left(\text{\ensuremath{\mathscr{H}}}\right). Considérese, p. ej., el espín 3/2:

\dim_{\,\mathbb{R}}\left[\textrm{span}\left\{ P_{\left(+3\hbar/2\right)_{z}},P_{\left(+\hbar/2\right)_{z}},P_{\left(-\hbar/2\right)_{z}},P_{\left(-3\hbar/2\right)_{z}}\right\} \right]=4>2=\\=3-1=\dim_{\,\mathbb{R}}\left[\textrm{span}\left\{ S_{x},S_{y},S_{z}\right\} /GL\left(1,\mathbb{R}\right)\right]

Para espín 1 masivo:

\dim_{\,\mathbb{R}}\left[\textrm{span}\left\{ P_{\left(+\hbar\right)_{z}},P_{0},P_{\left(-\hbar\right)_{z}}\right\} \right]=3>2=3-1=\\ \dim_{\,\mathbb{R}}\left[\textrm{span}\left\{ S_{x},S_{y},S_{z}\right\} /GL\left(1,\mathbb{R}\right)\right]

Pero para espín \frac{1}{2}, con \textrm{dim}=2, las dimensiones son coincidentes:

\dim_{\,\mathbb{R}}\left[\textrm{span}\left\{ P_{\left(+\hbar/2\right)_{z}},P_{\left(-\hbar/2\right)_{z}}\right\} \right]=2=3-1=

=\dim_{\,\mathbb{R}}\left[\textrm{span}\left\{ S_{x},S_{y},S_{z}\right\} /GL\left(1,\mathbb{R}\right)\right]

Esto es porque, para espín \frac{1}{2}, cualquier observable en primer miembro está dado por un par arbitrario \left\{ r_{+},r_{-}\right\} \in\mathbb{\mathbb{R}}^{2} en:

r_{+}P_{\left(+\hbar/2\right)_{z}}+r_{-}P_{\left(-\hbar/2\right)_{z}}

que resulta tener el mismo número de grados de libertad reales que:

\left(n_{x},n_{y},\sqrt{1-n_{x}^{2}-n_{y}^{2}}\right)

de forma que cualquiera de aquellos es una función diagonal inyectiva r_{+}=f_{+}\left(n_{x},n_{y}\right), r_{-}=f_{-}\left(n_{x},n_{y}\right) de un operador de espín para algún \boldsymbol{n}. Esto es peculiar para el espín \frac{1}{2}, en el que simplemente no hay cabida para estados no físicos del tipo KS. Para el espín 1, el espacio de los operadores tiene dimensión 9, mientras que el espacio de los operadores de espín, como hemos dicho, siempre tiene dimensión 2 (por estar “anclados” a su álgebra de Lie y tener como única libertad su vector director unitario). En general: 2<n+2n\left(n-1\right)/2=n+n\left(n-1\right)=n^{2}=\left(2J+1\right)^{2} siempre que J\geqq1 semi impar o entero.

Lo único que queda por mostrar es casi un recordatorio:
Lema: Si S_{\boldsymbol{n}} y S_{\boldsymbol{m}} son dos operadores compatibles de momento angular en cualquier dimensión, entonces S_{\boldsymbol{n}}\propto S_{\boldsymbol{m}}.

Demostración: Sea \boldsymbol{n}=\left(n_{x},n_{y},n_{z}\right), \boldsymbol{m}=\left(m_{x},m_{y},m_{z}\right), y \left\Vert \boldsymbol{n}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{m}\right\Vert =1. Entonces:

\left.\begin{array}{c}S_{\boldsymbol{n}}=n_{x}S_{x}+n_{y}S_{y}+n_{z}S_{z}S_{\boldsymbol{m}}=m_{x}S_{x}+m_{y}S_{y}+m_{z}S_{z}\end{array}\right\} \Rightarrow\\\left[S_{\boldsymbol{n}},S_{\boldsymbol{m}}\right]=i\hbar\boldsymbol{n}\wedge\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{S}=0\Rightarrow\boldsymbol{n}\propto\boldsymbol{m}\Rightarrow S_{\boldsymbol{n}}\propto S_{\boldsymbol{m}}

Como \boldsymbol{n} y \boldsymbol{m} han de ser 3-vectores unitarios reales, son el mismo (mód. signo).

Merece la pena refrasear el resultado para recolectar implicaciones físicas: Incluso si nos las arreglamos para construir (matemáticamente) dos operadores compatibles no proporcionales, al menos uno de ellos no puede representar la proyección del momento angular del sistema respecto a ninguna dirección \boldsymbol{n}; y es tan irrelevante físicamente como, por ejemplo, un estado simétrico compuesto de dos fermiones idénticos, o una superposición de estados prohibida por reglas de superselección. El argumento se generaliza con facilidad a cualesquiera observables cuya dimensión esté fijada por un álgebra de Lie \left[K_{a},K_{b}\right]=if_{abc}K_{c}, aunque la dimensión de las representaciones irreducibles físicamente relevantes pueda ser arbitrariamente elevada.

Por si el argumento anterior fuera poco, el teorema BKS se refiere a partículas de espín 3/2 o superior (caso masivo), de las cuales:

  1. No se ha detectado ninguna
  2. Teoremas de bosones débiles aseguran que son inconsistentes con la teoría cuántica de campos

Cuando las partículas son no masivas, la perentoriedad del argumento BKS es todavía menor: Las condiciones de transversalidad reducen el espacio de estados a dim 2, que está fuera del alcance del teorema.

 

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2 Responses to “Completar la mecánica cuántica”

  1. Cao Says:

    Me gustaría saber tu opinión acerca de los últimos resultados experimentales que sobre esto parece haber habido. Me refiero a las medidas debiles en donde si no me he enterado mal no es necesario el colapso y sin embargo, lógicamente, reproducen las probabilidades. Los trabajos son del 2011, en Nature, Bamber, C. “Direct Measurement of the Quantum Wavefunction”, vol. 474, p.188; y en Science: Steinberg, A. M. “Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer”, vol. 332, p1170.

  2. joigus Says:

    No los conocía. Sí que conocía la existencia de la interpretación en la que se basan las mediciones débiles (doble vector de estado). En su momento me recordó la interpretación transaccional. Esa es la parte donde entra en juego mi valoración “está si resolver”, cuando digo que “es debatible”. Pero dado que estos formalismos están inspirados en la teoría de Wheeler y Feynman de ondas semi avanzadas y semi retardadas, y aquella teoría requería la admisión de una hipótesis ad hoc, que era la existencia de un absorbente perfecto que se extiende hasta el infinito y que actúa desde el futuro (si no recuerdo mal), parecen un poco artificiosas, y posiblemente se vean obligadas a introducir los registros de las mediciones de una forma igualmente ad hoc (así como su relevancia en ciertos momentos y no en otros). De todas formas, estas interpretaciones basadas en la dinámica me parecen más serias que las que se centran únicamente en la decoherencia, y no digamos que la esotérica (aunque hasta ahora la única eficaz desde el punto de vista práctico) de Von Neumann.

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