Hacia una teoría consistente de campos y partículas (I)


La noción de que las partículas son entidades embebidas en un espacio ambiente es lógicamente problemática. Esa es quizá la razón por la cual las teorías de cuerdas, así como otras teorías de “entidades en un ambiente”, han fracasado en crear un modelo del universo a la vez consistente y predictivo.

En la imagen que voy a presentar, ciertos objetos unidimensionales aparecen, no como entidades embebidas en un espacio ambiente, sino como subvariedades 1-dimensionales que surgen de un argumento geométrico de cobordismo hacia dentro (la partícula elemental). Los campos en esta subvariedad satisfacen la ecuación de Laplace en dimensión 1, como se infiere de una interpretación razonada del 2º teorema de Noether, y son los candidatos naturales a definir o cartografiar el espacio-tiempo mismo cuando se considera su prolongación analítica al plano complejo. También formularé hipótesis simplificadoras que impedirán que el argumento del cobordismo interior nos conduzca a una regresión infinita.

Toda esta construcción conceptual puede clarificarse en términos matemáticos precisos únicamente si consideramos coordenadas polares, que son más apropiadas que las cartesianas cuando se trata de evidenciar la información importante en toda teoría de campos.

En lo que se refiere a los campos de gauge y sus fuentes, como veremos, habrán de interpretarse únicamente como cartas locales para cartografiar la estructura del campo total:

El intento de extender la validez de lo que solamente son cartas locales, para incluir todos los puntos de la variedad única (ambiente/partícula) da lugar a una redundancia que es origen de todos los problemas de renormalización, disparidad de escalas en la renormalización del campo escalar, y en último término, de un exceso al contar los grados de libertad conducente a un valor sorprendentemente grande de la constante cosmológica.

La naturaleza del campo gravitacional, por el contrario, se comprende con argumentos geométricos análogos a los anteriores, pero revertidos hacia horizontes cosmológicos, hacia el exterior de la partícula elemental. La gravedad sólo tiene sentido como una fuerza exterior, de origen entrópico, lo cual cuadra con ideas anteriores bien conocidas (‘t Hooft, 1993; Susskind, 1995Maldacena, 1997Bousso, 2002; Verlinde, 2010.)

¿Quiere esto decir que es inconsistente considerar campos gravitatorios en distancias de rango terrestre? No. Quiere decir que, si así lo hacemos, tiene que estar justificado en la posibilidad de despreciar todos los campos de gauge (compensación de cargas para EM, confinamiento para QCD o carácter masivo de los bosones en SU(2)). Lo que se suele llamar “teoremas de bosones débiles”. Y en cualquier caso, cualquier resolución en campos no podrá ser extendida a todo el espacio tiempo, porque estamos utilizando cartas ilícitas para tal tipo de cuestiones.

Sí, en la interpretación que voy a presentar, la gravedad entrópica es en gran medida una necesidad lógica. No me puedo entretener aquí en defender la teoría de Verlinde, que sin duda tiene sus limitaciones. Baste decir que los argumentos basados en interferometría de neutrones (Motl, 2010) se desmontan fácilmente considerando la simple observación anterior (que la gravedad sólo tiene sentido en último término hacia fuera) y añadiendo que la entropía de BH astrofísica (Bekenstein, 1973, Bardeen, Carter, Hawking, 1974, Hawking, 1975) no da una medida de toda la entropía relevante en cualquier sistema físico, como parece implicar el principio holográfico, sino solamente un límite, como veremos. Una manera simple de decir lo mismo es que el principio holográfico debe extenderse para incluir todos los sectores gauge más la gravitación, ateniéndose estos a una jerarquía en capas de la entropía total que requiere un examen cuidadoso escala a escala, y en el que la gravitación es el último haz de líneas de campo a cardinalizar, y siempre hacia fuera.

Pero el paradigma es más general: Todos los grados de libertad de la radiación son entrópicos respecto a sus grados de libertad fuente.

Como la gravitación tiene como fuente cualquier acumulación local de energía, todos los grados de libertad gravitatorios son entrópicos respecto a algún otro campo que determina un T_{\mu\nu} de energía momento interior a la región que se considera como fuente de ese campo gravitatorio.

Respecto a la variedad ambiente

Lo único que sabemos acerca de la variedad en la que vivimos es que nuestro universo parece 4-dimensional desde donde nosotros estamos. ¿Y dónde estamos?: Siempre estamos en la proximidad, mayor o menor, de una partícula o un cúmulo (cluster) de ellas; y siempre la observamos dentro de un horizonte cosmológico que constituye la esfera del cielo y que puede visualizarse como una 2-esfera en el infinito, hacia donde escapan nuestras líneas de campo totales que no hayan sido atrapadas en regiones finitas señalando fuentes de campo, polares o axiales.

Vamos a adoptar una forma simple de extender la estructura geométrica a partir de ahí que no tiene por qué ser la única lógicamente consistente, y es que:

La dimensionalidad puede ampliarse hacia fuera en embebimientos de n-esferas y disminuirse hacia dentro con al menos un embebimiento n-1-hiperbólico respecto a la n-esfera exterior

Utilizaré esto más adelante y lo explicaré mejor más adelante. Seguimos.

Respecto a las entidades

Las observaciones anteriores sobre campos como cartas locales sugieren considerar la partícula cargada como nada más que un punto focal de las líneas de campo, que en principio podría no ser más que un espejismo. Utilizaré esta palabra con cierta libertad, y tengo que confiar en que los lectores no interpreten en ello más de lo necesario. Para mí:

Un espejismo óntico es cualquier peculiaridad geométrica o topológica cuyo referente último no se puede resolver, pues se presenta como un par de referencias mutuas

Es decir, a diferencia del concepto usual, no asumimos que existe entidad alguna de la que el espejismo es una imagen especular. Las partículas que nuestro moderno formalismo considera como fermiones, carecen en principio de un referente exento de ambigüedad, encontrándose en la teoría únicamente como referencias mutuas. En otras palabras, una partícula “ve” a otra partícula análoga como un punto, pero esto podría ser producto de las cartas locales naturales para definir la interacción, quedando en último término vacante, o no referido en absoluto, concepto último alguno de tal entidad.

También usaré:

Un espejismo de las ecuaciones de campo es cualquier solución, término matemático, parametrización, etc., que puede eliminarse mediante una transformación o redefinición validada por el grupo de simetrías pasivas de mi teoría de campo

El espejismo de los monopolos magnéticos

La noción de que tanto cargas y corrientes como campos o fuentes son, ya sea de carácter “eléctrico” o “magnético” es lógicamente problemática. De hecho, la noción siquiera de que existe una posible distinción entre cargas y sus corrientes, o entre campos de gauge y sus fuentes es asimismo problemática:

Toda teoría fundamental debe ser expresada en términos de sus conceptos invariantes

Esta es una lección que Einstein nos enseñó, o así debería haber sido, y que aparentemente no hemos sido capaces de asimilar junto con sus consecuencias, durante décadas.

Los conceptos invariantes de las ecuaciones de Maxwell no son “eléctrico” y “magnético”, sino campo polar (P) y campo axial (A).

Principio I-A (EM):

Es imposible decidir sin ambigüedad si un centro de corriente es un axión (dipolo) eléctrico o un axión (dipolo) magnético

Principio I-P (EM):

Es imposible decidir sin ambigüedad si un centro de carga es un polo (monopolo) eléctrico o un polo (monopolo) magnético

Para asegurar el cumplimiento estricto de los dos principios previos, es necesario modificar las leyes de Coulomb y Biot-Savart (resp. de Lorentz) que definen las fuerzas comunmente llamada “electromagnética” con el siguiente:

Principio II-A (EM):

Es imposible decidir sin ambigüedad a cuál de las combinaciones reales uniparamétricas siguientes es proporcional la fuerza entre dos centros de corriente axiales:

 \left( e^{i\theta} \boldsymbol{j}_e +e^{-i\theta} \boldsymbol{j}_m \right)^* \cdot \left(e^{i\theta} \boldsymbol{j}_e +e^{-i\theta} \boldsymbol{j}_m \right)

Principio II-P (EM):

Es imposible decidir sin ambigüedad a cuál de las combinaciones reales uniparamétricas siguientes es proporcional la fuerza entre dos centros de carga de campo monopolar:

 \left( e^{i\theta} q_e +e^{-i\theta} q_m \right)^* \left(e^{i\theta} q_e +e^{-i\theta} q_m \right)

donde \theta es un parámetro real, q_e es la carga eléctrica y q_m es la carga magnética en las ecuaciones de Maxwell completamente simétricas bajo transformaciones de dualidad:

\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \rho_e

-\nabla \wedge \boldsymbol{E} = \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} +\boldsymbol{j}_m

\nabla \cdot \boldsymbol{B} = \rho_m

\nabla \wedge \boldsymbol{B} = \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} +\boldsymbol{j}_e

Observación: Si no introdujéramos el ppio. II en sus formas A y P, estaríamos en el mismo círculo vicioso en que está la física de campos actual, buscando monopolos, axiones, etc., que supondré inexistentes, no porque sean imposibles, sino porque la teoría realmente no los requiere. Son simplemente, o bien espejismos de las ecuaciones de campo, o las partículas que ya conocemos. Este principio equivale a redefinir la ecuación de la fuerza de Lorentz (generalización de las leyes de Coulomb y de Biot-Savart) a:

\boldsymbol{F} = q_m\left( \boldsymbol{E}+\boldsymbol{v} \wedge \boldsymbol{B} \right) + q_e\left( \boldsymbol{B}-\boldsymbol{v} \wedge \boldsymbol{E} \right)

De acuerdo con la simetría dual que la propia teoría nos está sugiriendo. Es decir, si la propia teoría trata en pie de igualdad cargas eléctricas y magnéticas, no voy a ser yo quien rompa esa simetría declarando una distinción que no está en las ecuaciones de campo, imponiéndola yo en las interacciones entre partículas. Con posterioridad quizá consideremos generalizaciones de la ley de Lorentz tal como la acabo de expresar.

Estas son algunas de las bonificaciones que se obtienen casi inmediatamente en el contexto de la teoría que propongo:

  • Trivialidad del vacío en QFT
  • Valor casi nulo para la constante cosmológica e interpretación entrópica de su desviación de este valor
  • Límite de gran N de las teorías de campos (‘t Hooft, 1974)
  • Ausencia de monopolos y axiones
  • Explicación del espejismo de la inercia (principio de Mach)
  • Entropía de Bekenstein-Hawking
  • Espejismo óntico de las partículas fuente (fermiones)
  • Interacciones como únicos elementos entizables
  • Explicación trivial del confinamiento en SU\left(3\right) QCD desde U\left(3\right)

Energía del vacío o constante cosmológica

Como necesito mucho espacio para explicar todas las ideas involucradas en la teoría que propongo, como no quiero dejar esta entrada sin ofrecer alguna de las respuestas que he presentado como “bonificaciones”, y como ya he explicado por qué no vemos monopolos ni axiones en el universo, aquí dejo este cálculo muy sencillo de por qué un número que debería valer 1, cuando lo calculamos con la teoría cuántica de campos, sale 10 elevado a 120 veces 1.

¿De dónde viene el escandaloso excedente al estimar el valor de la energía del vacío (constante cosmológica)?:

 \Lambda_{QFT}/\Lambda_{\textrm{obs}}=10^{120}

Número de veces en que el número de grados de libertad gauge excede al número de grados de libertad fuente en el sector EM (que suple al promedio para todos los sectores gauge):

 \frac{\#\left( \textrm{bosons} \right)}{\#\left( \textrm{fermions} \right)} = 10^{90}/10^{80}=10^{10}

Número de variables total de todos los sectores gauge:

Hay en total 3 sectores gauge, U\left(1\right)_\textrm{EW}, SU\left(2\right)_\textrm{L} y SU\left(3\right)_\textrm{QCD}. sus grados de libertad son, respectivamente, 1, 2^2-1=3 y 3^2-1=8. En total:

1+3+8=12

El overcounting (exceso de cardinal) será el exceso de grados de libertad gauge respecto a sus fuentes elevado al número de grados de libertad independientes de todos los sectores gauge. ¿Por qué?: Porque todos los modos de radiación son entrópicos respecto a sus fuentes. Esto da:

 \Lambda = \left( 10^{10}\right)^{12}=10^{120}

Este es el valor de la entropía de mi descripción. ¡La definición de entropía siempre requiere una descripción! Si yo estoy estudiando un gas ideal, yo, que soy responsable de las variables que defino, aseguro que puedo describirlo con un par de variables reales positivas P, V, por ejemplo. Entonces:

La entropía respecto a esa descripción me dice, a través de la temperatura, cuánto contribuyen energéticamente los grados de libertad que yo tengo integrados para dar crédito a una descripción biparamétrica de algo que en realidad tiene del orden de 10^{24} grados de libertad dinámicos.

La adecuación o no de tal descripción a la realidad física depende, obviamente, de mi habilidad como físico para describir el sistema con un número de variables adecuado y las correspondientes dependencias funcionales.

¿Qué valor debería tener? Pues quizá uno que excluya los modos de radiación, ya que estos son puramente entrópicos. Es decir:

1^{12} = 1=\Lambda_{\textrm{obs}}

Pues efectivamente la densidad de energía observada es de una unidad (protón) por metro a la cuarta.

En lenguaje llano: la radiación es entropía; los fermiones, por el contrario, son no entrópicos. ¿Por qué? Porque es donde tengo localizados mis objetos fuente, mis puntos focales fermiónicos, por muy espejismos que sean. Allá donde hay un fermión, hay un punto de reunión de selectones, que no son más que solitones escalares topológicos que dan un carácter óntico a las interacciones locales entre fermiones “espejismo”.

He mencionado el selectón al final de esta entrada, de una manera un tanto enigmática, y con esto concluyo por ahora. El selectón es un bosón escalar, topológico, que da carácter óntico a las interacciones entre fermiones. Su parecido al término “selectrón” no es casual, pues se comprenderá mejor en términos de supersimetría, que no es más que una parametrización conveniente para redefinir las hipersuperficies de mi problema (hasta dónde considero campo de gauge y hasta dónde campo fermiónico), es una simetría exacta de la Naturaleza, de carácter esencialmente pasivo (referencia redefinible, no transformación real) y no tiene que ver en absoluto con multipletes de partículas.

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